Kompozicija funkcija

U matematici, kompozicija funkcija formirana kompozicijom jedne funkcije drugom, predstavlja primjenu prve funkcije na rezultat primjene druge na argument. Funkcije f: X → Y i g: Y → Z se mogu komponirati tako što se prvo primjeni funkcija f na argument x i potom primjeni funkcija g na rezultat prethodne primjene. Na taj se način dobiva funkcija g o f: X → Z definirana sa (g o f)(x) = g(f(x)) za svaki x u X. Notacija g o f se čita kao "g kružić f" ili "g komponirano sa f".

g o f, kompozicija f i g

Kompozicija funkcija je uvijek asocijativna. To jest, ako su f, g i h tri funkcije s odgovarajuće odabranim domenama i kodomenama, tada je f o (g o h) = (f o g) o h. Budući da je svejedno gdje se stavljaju zagrade, mogu se slobodno izostaviti, bez utjecaja na konačni izračun.

Kao posljedica toga skup bijektivnih funkcija f: X → X formmira grupu u odnosu na operator kompozicije.

Funkcije g i f komutiraju jedna s drugom ako g o f = f o g. Općenito kompozicija funkcija nije komutativna. Komutativnost je specifično svojstvo koje imaju samo pojedine funkcije u posebnim okolnostima. Na primjer, $({\sqrt {x}})^{2}={\sqrt {x^{2}}}$ samo kad $x\geq 0$; za svaki negativni $x$ je prvi izraz nedefiniran. (Ali inverzne funkcije uvijek komutiraju i pritom stvaraju identitetu.

Primjer

Neka je visina zrakoplova u vremenu t dana funkcijom h(t) i neka je koncentracija kisika na visini x dana funkcijom c(x). Tada izraz (c o h)(t) opisuje koncentraciju kisika uokolo zrakoplova u vremenu t.

Funkcijske potencije

Ako Y⊆X tada se funkcija f: X → Y može komponirati sama sa sobom. Ovo se ponekad označava s f ². Shodno tome:

(f o f)(x) = f(f(x)) = f ²(x)

(f o f o f)(x) = f(f(f(x))) = f ³(x)

Ponavljana kompozicija funkcije samom sobom se zove iteracija funkcije.

Korištenjem definirane notacije lako dobivamo funkcijske potencije f o f ⁿ = f ⁿ o f = f ⁿ⁺¹ za prirodne n

• Dogovorno je f ⁰ = id_D(f) (identiteta nad domenom funkcije f).
• Ako funkcija f:X→X ima inverznu funkciju, negativne funkcijske potencije f ^-k (k > 0) su definirane kao suprotne potencije inverzne funkcije, (f ⁻¹)^k.

Iterirane funkcije se prirodno pojavljuju prilikom proučavanja fraktala i dinamičkih sustava.

Operator kompozicije

Za danu funkciju g, operator kompozicije $C_{g}$ je definiran kao operator koji preslikava funkcije na funkcije

$C_{g}f=f\circ g$

Operatori kompozicije su predmet proučavanja matematičke discipline zvane teorija operatora.